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    2022年省考:均值不等式巧解利潤最值問題

    TAG標簽: 數量關系
    2022-07-20 08:00:00 字號: | | 推薦課程:必勝技巧 來源:公考資訊網

      利潤問題是行測考試中數量關系部分的一種題型,這種題型中有一類考點,即求利潤的最值,此類題目在求解過程中往往會出現一元二次函數,如何簡便快速地求解一元二次函數的極值,下面公考資訊網(http://www.indigenousjournal.com/)就為大家介紹一種方法,即利用均值不等式來求解。

      均值不等式的一種表達形式如下,

      如果a、b均為非負實數,那么當且僅當a=b時,等號成立。

      由上述表達式,我們可以得到如下結論:已知a、b均為正數,若a+b為定值,則當且僅當a=b時,ab取得最大值。

      示例:已知x>0,y>0,且2x+5y=20,則xy的最大值是多少?

      在這道題目中,2x相當于a,5y相當于b,則a+b=20,是定值,所以當且僅當a=b,即2x=5y時,2x×5y存在最大值,因為2x=5y且加和等于20,所以2x=5y=10,求出2x×5y=10xy=100,即xy最大值為10。

      例1、某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴大銷售增加盈利盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,經調查發現如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件,每件襯衫降低( )元時,商場每天盈利最多。

      A.12 B.15 C.20 D.25

      答案選B。接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路:

      (1)找等量關系,列方程。

      本題所求為利潤最值問題,結合條件可以得出等量關系:總利潤=單件利潤×銷量。分析可得如果售價下降1元在成本不變的情況下利潤即下降1元,同時銷量會增加2件,這道題可以設每件襯衫的售價下降了x元,商場的總利潤為y元,那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。

      (2)湊配定和,求極值。

      y=(40-x)×(20+2x),由前面學習的均值不等式的結論可知,要想求兩部分乘積的最大值,需要這兩部分的加和為定值,而我們會發現40-x和20+2x的加和并不是常數,所以不為定值,那么就需要未知數在加和后抵消掉,則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x),此時40-x與10+x的和為定值,所以當且僅當40-x=10+x,即x=15時,y存在最大值,答案為B。

      例2、某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間定價為每天180元時,房間會全部住滿,當每個房間的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,問房價為多少元時賓館利潤最大?

      A.260 B.280 C.300 D.340

      【答案】D。解析:總收入最多則利潤最大,所以需要求出總收入的最大值,通過題干條件可得等量關系為:總收入=房間單價×入住房間數量,房價增加會使入住房間數減少,此時可設房價增加了x個10元,總收入為y元,可得y=(180+10x)×(50-x),想求兩個部分乘積的最大值,需要使兩部分加和為定值,可將方程變形為y=10×(18+x)×(50-x),當且僅當18+x=50-x,即x=16時,y取最大值,此時每個房間的價格為180+10×16=340元,故答案為D。

      通過上述例題我們可以發現,利潤最值問題采用均值不等式的思想來求解是非常簡單的,希望同學們能夠多看幾遍,充分吸收,做到熟能生巧、舉一反三。

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