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    2022年省考:容斥問題之三者容斥

    TAG標簽: 數量關系
    2022-05-25 17:47:03 字號: | | 推薦課程:必勝技巧 來源:公考資訊網

    縱觀近幾年的行測考試,數量關系題目的考點分布開始逐漸集中在計算、利潤、行程、工程、極值和幾何這幾大類問題上,但是除了這些必考題目之外,還是會有一些簡單的、容易拿分的題目考核,容斥問題就是其中之一。容斥問題,研究的是集合之間交叉關系的一類問題。通常,我們會把它分成三個考點研究,分別是二者容斥、三者容斥和容斥極值,其中三者容斥最為???,同時它也是相對較難理解的一類問題。那么什么是三者容斥呢?它又難在哪里呢?公考資訊網帶大家一起學習一下。

    三者容斥就是研究三個集合間交叉關系的一類問題,如圖所示:

    圖中A、B、C分別表示三個集合,而M表示不屬于三個集合的部分。此時我們不難發現,全集I就是由A、B、C以及M四個集合加和構成的,只是在加和的過程中,會被重復計算,因此需要將多算的這些減掉,在這過程中,被連續減掉了三次,需要再把它加回來,由此可得三者容斥的核心公式公式看起來比較麻煩,但在實際應用中只需要直接代數即可。

    例1、某單位員工中有45人訂閱A刊,有49人訂閱B刊,有58人訂閱C刊,有16人訂閱了A刊和B刊,有23人訂閱了B刊和C刊,有21人訂閱了A刊和C刊。有10人同時訂閱了這三種刊物。該單位至少訂閱一種刊物的人數是:

    【解析】這道題目的題干特征最為明顯,直接告訴了我們三個集合的具體數據,以及的具體數字,然而我們求解的是“至少訂閱了一種刊物”的人數,那么什么叫做至少訂閱一種刊物呢?也就是說訂閱一種、兩種或三種刊物都可以,也就是訂了就行,換言之,這道題目需要求解的其實就是全集I的大小,已知三個集合和集合交集,直接代入公式因為題目當中未表明有人沒有訂閱,因此未訂閱的人數M就為0,故直接代入解得I=102,故本題選擇C。

    除了上述公式外,三者容斥還存在第二種類型,它不具備如此明顯的集合間交集的數據,它的表述通常為“同時屬于兩者的”、“三者都滿足的”等方式,此時題目當中找不到有關于兩兩交集的數據,只能找到同時屬于兩個集合的數據的總和,因此就要求我們對于全集I重新劃分,如圖所示:

    其中1,2,3這三個部分只屬于一個集合,我們就說他們分別只具備一種屬性,用a來表示,4,5,6這三個部分同時屬于兩個集合,也就是分別具備兩種屬性,用b來表示,7這部分同時屬于三個集合,即同時具備三種屬性,用c來表示,而不屬于任何一個集合的8則不具備任何屬性,我們用d來表示。通過重新劃分,我們發現,全集還可以由只具備一種屬性的數據、同時具備兩種屬性的數據、具有三種屬性的數據以及不具備任何屬性的數據之和共同構成,所以又可以寫成而集合A、B、C的加和又可以表述為兩式聯立就得到:。通常這類題目的呈現方式如下:

    例2、某研究中心就消費者對紅、黃、藍三種顏色的偏好情況進行市場調查,共抽取了40名消費者,發現其中有20人喜歡紅色、20人喜歡黃色、15人喜歡藍色,至少喜歡兩種顏色的有19人,喜歡三種顏色的有3人,問三種顏色都不喜歡的有幾人?

    【解析】這道題目中,我們雖然能夠明顯看出它也是三者容斥問題,但是題目當中卻找不到兩兩之間的交集描述,而是給到了“至少喜歡兩種顏色”以及“喜歡三種顏色”這兩種描述,也就是說這只能表示同時屬于兩個集合和三個集合的數據數量,具體是哪兩個集合,不得而知,因此只能利用屬性間關系求解,這時考慮利用

    解題。通過分析發現“至少兩種”包含了“兩種”以及“三種”兩個概念,也就是具有兩種和三種屬性,對應公式中的

    直接代入公式解得d=7,因此這道題選擇D。

    通過以上兩道題目,我們不難發現,容斥問題本身難度并不是很大,只要找到題目中數據描述的特點,對應正確的公式,就會很容易解決。因此,在考試當中,如果遇見容斥問題,大家一定要牢牢把握住不要失分哦。


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